Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son procedimientos utilizados para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, su uso se conoce como integración numérica, aunque este término a veces se toma para significar el cálculo de una integración.

Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando funciones típicas. Sin embargo, a efectos prácticos, como en ingeniería, una aproximación numérica a la solución suele ser suficiente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchas disciplinas científicas, por ejemplo, en física, química, biología y economía. Además, algunos métodos en ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten una ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.

Además, queremos darles el siguiente link en el cual encontrarán una lista de reproducción para que entiendan más fácilmente la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

https://youtube.com/playlist?list=PL9SnRnlzoyX2AdKEvB0yIfkSEuCuQr4AK

Ahora empecemos a explicar los métodos que existen para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Métodos:

Método de la serie de Taylor.

 En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto (a) suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando a=0, se le denomina también serie de Maclaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;

Es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Métodos de Euler y Euler modificado

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los Métodos de Runge-Kutta. El método de Euler es nombrado por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado en 1768-1770).​
El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

 

El método de Euler mejorado consiste en tomar las fórmulas del método de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final y luego promediarlas. De esta manera el resultado será mucho más acertado a lo largo de todo el intervalo.

Método de Runge-Kutta

Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.

El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:

 

en su forma Explícita:

Métodos de pasos múltiples

Se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Métodos de Adams-Moulton

Los métodos de Adams-Moulton se parecen a los métodos de Adams-Bashforth en que también tienen  y . De nuevo se eligen los coeficientes "b" para obtener el orden más alto posible. Sin embargo, los métodos de Adams-Moulton son métodos implícitos. Al eliminar la restricción de que , un método de Adams-Moulton "paso a paso" puede alcanzar el orden , mientras que los métodos de Adams-Bashforth en el paso s solo tienen orden s.